三大核心领域之几何学范畴

2009-09-23 13:43来源:互联网 作者:佚名 [打印] [评论]  北京2010新高考方案获教育部批复

    1、初等几何

    在希腊语中,“几何学”是由“地”与“测量”合并而来的,本来有测量土地的含义,意译就是“测地术”。“几何学”这个名词,系我国明代数学家根据读音译出的,沿用至今。

    现在的初等几何主要是指欧几里得几何,它是讨论图形(点、线、面、角、圆等)在运动下的不变性质的科学。

    例如,欧氏几何中的两点之间的距离,两条直线相交的交角大小,半径是r的某一圆的面积等都是一些运动不变量。

    初等几何作为一门课程来讲,安排在初等代数之后;然而在历史上,几何学的发展曾优先于代数学,它主要被认为是古希腊人的贡献。

    几何学舍弃了物质所有的其它性质,只保留了空间形式和关系作为自己研究的对象,因此它是抽象的。这种抽象决定了几何的思维方法,就是必须用推理的方法,从一些结论导出另一些新结论。定理是用演绎的方式来证明的,这种论证几何学的代表作,便是公元前三世纪欧几里得的《原本》,它从定义与公理出发,演绎出各种几何定理。

    现在中学《平面三角》中关于三角函数的理论是15世纪才发展完善起来的,但是它的一些最基本的概念,却早在古代研究直角三角形时便己形成。因此,可把三角学划在初等几何这一标题下。

    古代埃及、巴比伦、中国、希腊都研究过有关球面三角的知识。公元前2世纪,希帕恰斯制作了弦表,可以说是三角的创始人。后来印度人制作了正弦表;阿拉伯的阿尔。巴塔尼用计算sinθ值的方法来解方程,他还与阿布尔。沃法共同导出了正切、余切、正割、余割的概念;赖蒂库斯作了较精确的正弦表,并把三角函数与圆弧联系起来。

    由于直角三角形是最简单的直线形,又具有很重要的实用价值,所以各文明古国都极重视它的研究。我国《周髀算经》一开始就记载了周朝初年(约公元前1100年左右)的周公与学者商高的对话,其中就谈到“勾三股四弦五”,即勾股定理的特殊形式;还记载了在周公之后的陈子,曾用勾股定理和相似图形的比例关系,推算过地球与太阳的距离和太阳的直径,同时为勾股定理作的图注达几十种之多。在国外,传统称勾股定理为毕达哥拉斯定理,认为它的第一个一致性的证明源于毕氏学派(公元前6世纪),虽然巴比伦人在此以前1000多年就发现了这个定理。到现在人们对勾股定理已经至少提供了370种证明。

    19世纪以来,人们对于关于三角形和圆的初等综合几何,又进行了深入的研究。至今这一研究领域仍然没有到头,不少资料已引申到四面体及伴随的点、线、面、球。