思维拓展-域,群,扩充域

2009-09-23 13:28来源:业余数学天地 作者:佚名 [打印] [评论]  北京2010新高考方案获教育部批复

    阿贝尔的有些发现,比如说同椭圆函数和椭圆积分有关的发现,讲起来很困难,因为要想把他的成果的基本要点阐述得明白准确,需要的定义和概念实在太多了。下面,我们只概略地讲一讲阿贝尔证明一般的高于四次的代数方程用根式求解的不可能性的有关发现。

    设给定一个高于四次的一般的代数方程:

    a0xn+a1xn-1+...+an=0, n>4          (34)

    正如18-19世纪著名的德国数学家高斯(1777——1855)所指出的那样,这个方程有n 个根,这些根可能是实数根,也可能是复数根,可能相同,也可能不同。

    假定方程(34)的根是不相同的,我们应该认为方程的系数是任意的。

    我们把具有下面性质的数集P 称为域:1)如果 a∈P,b∈P,则a+b∈P,ab∈P;2)如果 a∈P,则-a∈P,a-1∈P(当a≠0时)。

    设P是某个域。算得这个域中所有数的平方根,把所有这些根归入这个域,从这样扩充了的集合中顺次利用加,减,乘,除(去掉除以0 )的运算得到的所有的数也同样归入这个域。

    所得的新的域称为域P 的根式扩充域。同理,如果取立方根(根式),四次方根(根式)等等,也可以得到根式扩充域。

    我们研究方程(34),它的系数属于域P .假定这个方程有一个用根式表示的根,这意味着,这个根属于由域P 得到的根式扩充域序列中的一个域,而且这个序列中的每一个后面的扩充域是由前一个扩充域得到的。研究这些域会发现,它们和近世代数中诸如群,群的正规子群,商群这样一些很重要的概念有联系。

    设有一个任意性质的元素a,b,c…… 构成的集合Ω,其中某一个元素同按一定顺序选取的每一对元素a,b相对应,这个元素称为元素a,b的积,记为ab,一般情况下ab≠ba   .当且仅当以下四个条件成立集合Ω称为群:1.集合Ω的两个元素的积也属于这个集合:ab=c∈Ω。

    2.满足结合律:(ab)c=a(bc)。

    3.群的单位元素即元素e是该集合中的一个元素,对于集合中的每一个元素a 满足等式ae=a.