集合大小定义的基本要求

2009-09-21 14:34来源:搜狐教育社区 作者:佚名 [打印] [评论]  北京2010新高考方案获教育部批复

  作为集合大小的定义,应该满足什么样的基本要求?我们当然要尽可能地使它符合一般的关于“大小”的常识和直觉,其中有许多是要比“整体大于部分”更加要紧的。首先,一个集合的大小只应该取决于这个集合本身。

  我们知道一个集合可以用多种方法来构造和表示,比如说,

  A={小于等于2的正整数}

  B={1, 2}

  C={x2-3x+2=0的根}

  其实都是同一个集合,

  D={n | n为自然数,且方程xn+yn=zn有xyz≠0的整数解}

  又怎么样呢?1996年英国数学家怀尔斯证明了费尔马大定理,所以集合D和上面的集合A、B、C是同一个集合,它里面有两个元素1和2。我们记得,一个集合由它所含的元素唯一决定,所以它的大小也不能取决于它被表示的方法,或者被构造的途径,它只应该取决于它本身。

  一个集合得和自己一样大,这个没有什么好说的;其次,如果集合A不小于(也就是说或者大于,或者一样大)集合B,而集合B也不小于集合A,那么它们就必须是一样大的;第三,如果集合A不小于集合B,而集合B又不小于集合C,那么集合A就必须不小于集合C。在数学上,我们称满足这三个条件的关系为“偏序关系”(注:严格地说,这个偏序关系并不定义在集合之间,而是定义在集合按“一样大”这个等价关系定义出的等价类之间,关于偏序关系的严格定义的叙述和上面所说的也有区别,但这些问题在这里并不要紧,你如果看不懂这个注在讲什么也不要紧)。如果一个关于集合大小的定义违反了上面所说的三条之一,这个定义的怪异程度一定会超过上面使用一一对应原则的定义!

  举个例子,比如说我对某位科幻小说作家的喜爱程度就是一个偏序关系。如果我喜欢阿西莫夫胜于喜欢凡尔纳,而喜欢凡尔纳又胜于喜欢克拉克,那在阿西莫夫和克拉克中,我一定更喜欢阿西莫夫。不过一个偏序关系并不要求任意两个对象都能相互比较。比如说刘慈欣的水平当然不能和克拉克这样的世界级科幻大师比,但是“喜欢”是一种很个人的事情,作为一个中国人,我对中国的科幻创作更感兴趣——所以似乎不能说我更喜欢克拉克,但也不能说我更喜欢刘慈欣,而且也不能说同样喜欢,因为喜欢的地方不一样——所以更确切地也许应该说,他们俩之间不能比较。但偏序关系中存在这样的可能性,有一个对象可以和两个不能相互比较的对象中的每一个相比较,比方说我喜欢阿西莫夫胜过刘慈欣和克拉克中的任一个。

  不过作为集合大小的定义,我们希望能够比较任意两个集合的大小。所以,对于任何给定的两个集合A和B,或者A比B大,或者B比A大,或者一样大,这三种情况必须有一种正确而且只能有一种正确。这样的偏序关系被称为“全序关系”。

  最后,新的定义必须保持原来有限集合间的大小关系。有限集合间的大小关系是很清楚的,所谓的“大”,也就是集合中的元素更多,有五个元素的集合要比有四个元素的集合大,在新的扩充了的集合定义中也必须如此。这个要求是理所当然的,否则我们没有理由将新的定义作为老定义的扩充。